किसी चुंबकीय द्विध्रुव के कारण किसी स्वेच्छ बिंदु `P(r, theta)` पर चुंबकीय क्षेत्र का व्यंजक प्राप्त करे ।

Explanation

मान लिया चुंबकीय द्विध्रुव के केंद्र O के सापेक्ष किसी बिंदु P के ध्रुवीय नियामक (polar coordinates) (r, `theta`) हैं जहाँ पर चुंबकीय क्षेत्र `vec(B)` ज्ञात करना है । चुंबकीय आघूर्ण `vec(m)` को क्रमश: OP दिशा एवं इसके लंबवत दिशा में विघटित करने पर,
OP दिशा में घटक `m_(1) = m cos theta`
तथा OP की लंबवत दिशा में घटक `m_(2) = m sin theta`.
अब `m_(1)` के लिए बिंदु P अक्षीय स्थिति में है, अत: इसके कारण P पर चुंबकीय क्षेत्र
`B_(1) = (mu_(0)*2m_(1))/(4 pi r^(3))" "["समीकरण 1.21 से"]`
या `B_(1) = (mu_(0) 2m cos theta)/(4 pi r^(2))" "....1.35`
इसकी प्रकार, `m_(2)` के लिए बिंदु P निरक्षीय स्थिति में है, अत: इसके कारण P पर चुंबकीय क्षेत्र
`B_(2) = (mu_(0)m_(2))/(4 pi r^(3))" "["समीकरण 1.24 से"]`
या `B_(2) = (mu_(0) m sin theta)/(4 pi r^(3))`
अब `B_(1)` एवं `B_(2)` परस्पर लंबवत हैं, अत: P पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र `vec(B)` का परिमाण
`B = sqrt(B_(1)^(2) + B_(2)^(2)) = (mu_(0))/(4pi) (m)/(r^(3))sqrt(4 cos^(2)theta + sin^(2) theta)`
या `B=(mu_(0))/(4 pi)(m)/(r^(3)) sqrt(1+3 cos^(2) theta)" "....1.36`
यदि परिणामी क्षेत्र `vec(B)` की दिशा OP रेखा के साथ `phi` कोण बनाती हो, तो
`tan phi = (B_(2))/(B_(1)) = (1)/(2) tan theta`
या `phi = tan^(-1) ((1)/(2) tan theta)" "...1.37`
द्रष्टव्य: अक्षीय स्थिति में `theta = 0`, अत: समीकरण 1.36 से, `(B)_("अक्षीय") = (mu_(0))/(4 pi)(2m)/(r^(3))`
इसी प्रकार, निरक्षीय स्थिति में `theta = 90^(@)`, अत: `(B)_("निरक्षीय") = (mu_(0))/(4 pi)(m)/(r^(3))`
अत: अनुपात `((B)_("अक्षीय"))/((B)_("निरक्षीय")) = (2)/(1)`.