`int_((pi)/(18))^((4pi)/(9))(2sqrt(sinx))/(sqrt(sinx)+sqrt(cosx))dx=` . . .

Options

A. `(7pi)/(36)`
B. `(5pi)/(36)`
C. `(7pi)/(18)`
D. `(5pi)/(18)`

Answer

C

Explanation

Let `l=int_((pi)/(18))^((4pi)/(9))(2sqrt(sinx))/(sqrt(sinx)+sqrt(cos)x)dx`
`=2int_((pi)/(18))^((4pi)/(9))(sqrt(sinx))/(sqrt(sinx)+sqrt(cosx))dx` . . (i)
`=2int_((pi)/(18))^((4pi)/(9))(sqrt(sin((4pi)/(9)+(pi)/(18)-x)))/(sqrt(sin((4pi)/(9)+(pi)/(8)-x))+sqrt(cos((4pi)/(9)+(pi)/(8)-x)))`
`(becauseint_(a)^(b)f(x)dx=int_(a)^(b)f(a+b-x)dx)`
`impliesl=2int_((pi)/(18))^((4pi)/(9))(sqrt(cosx))/(sqrt(cosx)+sqrt(sinx))dx` . . . (ii)
On addint Eqs. (i) and (ii), we get
`2l=2int_((pi)/(18))^((4pi)/(9))dx=2[x]_((pi)/(18))^((4pi)/(9))`
`=2[(4pi)/(9)-(pi)/(18)]=2((7pi)/(18))`
`implies l=(7pi)/(18)`