निम्नलिखित परिभाषित प्रतियेक द्विधिकारी संक्रिये * के लिए निर्धारित कीजिएः की क्या * द्वि-आधारी क्रमविनिमय है तथा क्या * साहचर्य है
(i) Z में a*b=a-b द्वारा परिभाषित
(ii) Q में a*b=ab+1 द्वारा परिभाषित
(iii) Q में a*b=`(ab)/(2)` द्वारा परिभाषित
(iv) `Z^(+) में a*b=a^(b)` द्वारा परिभाषित

Explanation

(i) Z पर द्विधिकारी संक्रिये निम्नलखित प्रकार से परिभषित है
a*b=a-b
और b*a=b-a
मगर `a-b ne b-a`
अर्थार्त `a"*"b ne b"*"a`
अंत: यह संक्रिये "*" क्रम विनिमय नहीं है
साहचर्य के लिए
`=a-b+c`
और `(a"*"b)"*"c=(a-b)"*"c`
`=(a-b)-c`
`therefore a"*"(b"*"c) ne (a"*"b)"*"c, AA a, b,c in Z.`
अंत: यह संक्रिये "*" साहचर्य नहीं है।
(ii) क्रमविनिमेय के लिए:
`a"*"b=ab+1`
और `b"*"a=1+ab=ab+1`
`therefore a"*"bv=b"*"a, AA a, b in Q`
अंत: यह सक्रिय "*" क्रमविनिमय है
साहचर्य के लिए
`a"*"(b"*"c)=a"*"(bc+1)`
`=a(bc+1)+1`
`=abc+a+1`
`(a"*"b)"*"c=(ab+1)"*"c=(ab+1)c+1`
`=abc+c+1`
`therefore a"*"(b"*"c) ne (a"*"b)"*"c`
अंत: यह संक्रिया "*" सहचर नहीं है
(ii) कृमिविनिये के लिए:
`a"*"b=(ab)/(2)`
`b"*"a=(ba)/(2)=(ab)/(2)`
अंत: यह संक्रिये "*" क्रमविनिमेय है
साहचर्य के लिए ltbr`a"*"(b"*"c)=a"*"(b)/(c)=(a.(bc)/(2))/(2)=(abc)/(4)` ltbr`(a"*"b)"*"c=(ab)/(2)"*"c=((ab)/(2)"*"c)/(2)=(abc)/(4)`
`a"*"(b"*"c)=(a"*"b)"*"c`
अंत: यह संक्रिये "*" साहचर्य है।
(iv) क्रमविनिमेय के लिए:
`a"*"b=a^(b)`
`b"*"a=b^(a)`
`therefore a"*"b ne b"*"a`
अंत: यह संक्रिये "*" कृमिविनिये नहीं है।
साहचर्य के लिए
`a"*"(b"*"c)=a"*"b^(c)=a^(b^(c))`
(v) क्रमविनिमेय के लिए
`a"*"b=(a)/(b+1)`
`"और " b"*"a=(b)/(a+1)`
`therefore a"*"b ne b"*"a, AA a,b in R -{-1}`
अंत: यह संक्रिये "*" कृमिविनिये नहीं है।