एक तार की लम्बाई 2 इकाई है। इसके दो भाग किये गए, पहले भाग x इकाई का एक वर्ग तथा दूसरे से r इकाई त्रिज्या का एक वृत बनाया गया। यदि बने हुए वर्ग तथा वृत के क्षेत्रफलों का योगफल न्यूनतम हो, तब
`(a) 2x=(pi+4)r `
`(b ) (4-pi )x=pi r`
`(c) x=2r`
`(d) 2x=r`

Explanation

तार की कुल लम्बाई =2 इकाई अर्थात वृत की परिधि + वर्ग का परिमाप
`" " 2pi r +4xxx=2`
`" " pi r+ 2x=1 `
`" " pi r =1-2x`
`" " r=(1-2x)/(pi ) `
मान लीजिए वर्ग तथा वृत के क्षेत्रफलों का योगफल A हो, तब
`" " A `= वर्ग का क्षेत्रफल + वृत का क्षेत्रफल
`" " =x^(2) +pir^(2) `
r का मान उपरोक्त से रखने पर,
`" " A(x)=x^(2) +pi (1-2x^(2) )/(pi^(2) )=x^(2) +(1-2x)^(2) /(pi) `
A(x) के न्यूनतम मान के लिए `" " (dA)/(dx) =0 `
`" " 2x+(2(1-2x))/(pi )(-2) =0 `
`" " x-(2-4x) /(pi) =0 `
x=(2-4x)/(pi )
ltbgt ` ("या") " " pi x =2-4x`
` ("या")" " pix+4x=2`
` ("या")" " x(pi+4)=2`
` ("या")" " x=(2)/(pi+4) `
x का मान सभी (i ) में रखने पर,
`" "r=(1-(2xx2)/(pi+4))/(pi)=(pi+4-4)/(pi ( pi+4) )=(1)/(pi +4)`
या `" " r(pi+4)=1`
या `" " pi +4=(1)/(4) `
`pi+4` का मान सभी (ii ) में रखने पर,
`" " x=(2)/(1//2) =2r`
अतः विकल्प (c ) x = २र सही है।