`int (sin^(-1) sqrt(x)- cos^(-1) sqrt(x))/(sin^(-1) sqrt(x)+ cos^(-1) sqrt(x)) dx` का मान ज्ञात कीजिए।

Explanation

`int (sin^(-1) sqrt(x)- cos^(-1) sqrt(x))/(sin^(-1) sqrt(x)+ cos^(-1) sqrt(x)) dx`
`=int sin^(-1) sqrt(x)-(pi/2- sin^(-1) sqrt(x))/(pi/2) dx" "[ :' sin^(-1) sqrt(x)+cos^(-1) sqrt(x)=pi/2]`
`=4/pi int sin^(-1) sqrt(x)dx-int dx`
`=4/pi int sin^(-1) sqrt(x) dx-x+c` ...(i)
माना `x=sin^(2) theta, dx =2 sin theta cos theta d theta`
तब `int sin^(-1) sqrt(x) dx= int theta.2 sin theta cos theta d theta`
`I=theta sin^(2) theta- int sin^(2) theta d theta`
`=theta sin^(2) theta-1/2 int (1- cos 2 theta) d theta`
`=theta sin^(2) theta -1/2 int [theta- (sin 2 theta)/2]`
`=theta/2 [(2 sin^(2) theta-1)+1/4 2 sin theta cos theta]`
`=1/2 sin^(-1) sqrt(x). (2x-1)+1/2 sqrt(x). sqrt((1-x))` ...(2)
समीकरण (1) व (2) से
`I=2/pi [(2x-1) sin^(-1) sqrt(x)+sqrt(x(1-x))]-x+c`.