`int sqrt((a + x)/(a-x)) dx` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer

.

Explanation

प्रथम विधि :
मान लीजिए की `x=a cos theta`, तब `dx=-a sin theta d theta`
`:. int sqrt(((a+x)/(a-x)))dx=int sqrt(((a+a cos theta)/(a-a cos theta)))(-a sin theta d theta)`
`-a int sqrt(((1+cos theta)/(1-cos theta))).sin theta d theta`
`=-a int sqrt([(1+(2 cos^(2) theta//2-1))/(1-(1-2 sin^(2) theta//2))]).2 sin theta//2 cos theta//2 d theta`
`=-2 a int (cos theta//2)/(sin theta//2).sin theta//2 cos heta//2 d theta`
`=-a int 2 cos^(2) theta//2 d theta`
`=-a int (1+cos theta) d theta`
`=-a [theta+sin theta]+c`
`=-a theta-a sqrt(1- cos^(2) theta)+c`
`=-a cos^(-1) (x/a) -a sqrt([1-(x//a)^(2)])+c`
`=-a cos^(-1) (x/a)-sqrt(a^(2) -x^(2))+c`.
द्वितीय विधि :
`sqrt(((a+x)/(a-x)))=sqrt(((a+x)/(a-x)xx(a+x)/(a+x)))=sqrt([((a+x)^(2))/(a^(2)-x^(2))])`
`=(a+x)/sqrt(a^(2)-x^(2))=a/sqrt(a^(2)-x^(2))+x/sqrt(a^(2)-x^(2))`
`:. int sqrt(((a+x)/(a-x)))dx=int a/sqrt(a^(2)-x^(2)) dx +int x/sqrt(a^(2)-x^(2)) dx`
`=a sin^(-1) (x/a)+int (-dt)" "[a^(2)-x^(2)=t^(2)" रखने पर"]`
`=a sin^(-1) (x/a)-t+c`
`=a sin^(-1) (x/a) -sqrt(a^(2) -x^(2))+c`