`int (d theta)/(sin^(4) theta+cos^(4) theta)` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

.

Explanation

अंश और हर में `cos^(4) theta` से भाग देने पर
`int (d theta)/(sin^(4) theta +cos^(4) theta)= int (sec^(4) theta d theta)/(1+ tan^(4) theta) = int ((1+tan^(2) theta).sec^(2) theta d theta)/(1+tan^(4) theta)`
`=int (x^(2)+1)/(x^(4)+1) dx`, जहाँ `tan theta=x, sec^(2) theta d theta=dx`
`=int ((1+1//x^(2)))/(x^(2)+(1//x^(2))) dx`, (अंश और हर को से भाग देने पर)
मानलो `x-1/x=t` तब `[1-(-1/x^(2))] dx=dt` या `(1+1/x^(2))dx=dt`
और `x^(2)+1/x^(2) =2+(x^(2)+1/x^(2)-2)=2+(x-1/x)^(2)=2+t^(2)`
`:. int (x^(2)+1)/(x^(4)+1) dx = int (1+(1//x^(2)))/(x^(2)+(1//x^(2))) dx= int (dt)/(2+t^(2))= int (dt)/((sqrt(2))^(2)+t^(2))`
`=1/sqrt(2) tan^(-1) (t/sqrt(2))+c`
`=1/sqrt(2) tan^(-1) {1/sqrt(2) (x-1/x)}+c`
`=1/sqrt(2) tan^(-1) ((x^(2)-1)/(xsqrt(2)))+c`
`=1/sqrt(2) "tan"^(-1) 1/sqrt(2) (tan theta - cot theta)+c`.