ज्ञात कीजिए :
(i) `int e^(x) (tan^(-1)x+1/(1+x^(2))) dx` (ii) `int (e^(x)(x^(2)+1))/((x+1)^(2)) dx`

Answer

.

Explanation

(i) `int e^(x) (tan^(-1) x+1/(1+x^(2))) dx`
`=int e^(x) tan^(-1) x dx + int e^(x) 1/(1+x^(2)) dx`
`=tan^(-1) x.e^(x)-int 1/(1+x^(2)).e^(x) dx+int e^(x) .1/(1+x^(2)) dx`
`=e^(x).tan^(-1) x+c`.
`int e^(x) [f(x)+f'(x)]dx=e^(x).f(x)+c`.
(ii) `int (e^(x) (x^(2)+1))/((x+1)^(2)) dx = int (e^(x)(x^(2)+2x+1-2x))/((x+1)^(2)) dx`
`=int (e^(x) [(x+1)^(2)-2x])/((x+1)^(2)) dx`
`=int e^(x) [((x+1)^(2))/((x+1)^(2))-(2x)/((x+1)^(2))] dx`
`=int e^(x) (1-(2x)/((x+1)^(2))) dx= int e^(x) dx-2 int e^(x) dx-2 int e^(x). x/((x+1)^(2)) dx`
`=e^(x)-2 int e^(x). ((x+1-1))/((x+1)^(2)) dx=e^(x)-2 int e^(x) (1/(x+1)-1/((x+1)^(2))) dx`
`=e^(x)-2[int e^(x) 1/(x+1) dx-int e^(x) 1/((x+1)^(2)) dx]`
`=e^(x)-2 [1/(x+1) .e^(x)-int-1/((x+1)^(2)) e^(x) dx-int e^(x) 1/((x+1)^(2)) dx]`
`=e^(x)-2 [1/(x+1) .e^(x)+int 1/((x+1)^(2)) e^(x) dx-int e^(x) 1/((x+1)^(2)) dx]+c`
`=e^(x)-(2e^(x))/(x+1) +c`.