`int ((3x-2))/((x+1)^(2)(x+3)) dx` का मान ज्ञात कीजिए।

Options

A. `11/4 log |(x+1)/(x+6)|+5/(2(x+1))+c`
B. `11/4 log |(x+1)/(x+3)|+5/(2(x+1))+c`
C. `17/4 log |(x+1)/(x+3)|+5/(2(x+1))+c`
D. `11/4 log |(x-2)/(x+3)|+5/(2(x+1))+c`

Answer

B

Explanation

`int ((3x-2))/((x+1)^(2)(x+3)) dx`
आंशिक भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर,
`((3x-2))/((x+1)^(2)(x+3))=A/(x+1)+B/((x+1)^(2))+C/(x+3)`
`=(A(x+1)(x+3)+B(x+3)+C(x+1)^(2))/((x+1)^(2)(x+3))`
`:. 3x-2=A(x+1) (x+3) +B(x+3)+C(x+1)^(2)`
अब माना `x+1=0` या `x=-1` रखने पर,
`-5=2B` या `B=-5/2`
पुनः माना `x+3=0` या `x=-3` रखने पर,
`-11=C(-3+1)^(2)=4C`
या `C= -11/4`
अब `3x-2=A(x^(2)+4x+3)+B(x+3)+C(x^(2)+2x+1)`
तुलना करने पर,
`4A+B+2C=3`
B तथा C के मान रखने पर,
`4A-5/2-11/2=3`
`4A=3+8=11`
`A=11/4`
`:. (3x-2)/((x+1)^(2)(x+3))=11/4 1/(x+1)-5/2 1/((x+1)^(2))-11/4. (1)/(x+3)`
`int ((3x-2))/((x+1)^(2)(x+3)) dx=11/4 int 1/(x+1) dx-5/2 int (dx)/((x+1)^(2)) -11/4 int (dx)/(x+3)`
`=11/4.log |x+1|+5/(2(x+1)) -11/4 log |x+3|+c`
`=11/4 log |(x+1)/(x+3)|+5/(2(x+1))+c`.