`int (dx)/((1+x+x^(2)+x^(3)))` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

.

Explanation

`int (dx)/(1+x+x^(2)+x^(3))` में
`1/(1+x+x^(2)+x^(3))=1/((1+x)(1+x^(2)))=A/(1+x)+(Bx+C)/(1+x^(2))`
`=(A(1+x^(2))+(Bx+C)(1+x))/((1+x)(1+x^(2)))`
`:. 1=A(1+x^(2))+(Bx+C) (1+x)`
`1+x=0` से `x=-1`
`1=A(1+1)=2A implies A=1/2`
`x^(2)` के गुणांकों की तुलना से
`A+B=0 implies B=-A=-1/2`
अचर पदों की तुलना से
`1=A+C`
`:. C=1-A=1-1/2=1/2`
`int (1/(2(1+x))+(-1/2x +1/2)/(1+x^(2))) dx=1/2 int (dx)/(1+x)-1/2 int (x-1)/(1+x^(2)) dx`
`=1/2 log_(e) |1+x|-1/2 int (x dx)/(1+x^(2))+1/2 int (dx)/(1+x^(2))`
`=1/2 log_(e) |1+x|-1/4 log_(e) |1+x^(2)|+1/2 tan^(-1) x+c`.