`int (3x+1)/(2x^(2)-2x+3) dx` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

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Explanation

मान लीजिए `(3x+1)/(2x^(2)-2x+3) =(M d/(dx) (2x^(2)-2x+3))/(2x^(2)-2x+3)+N/(2x^(2)-2x+3)`
`=(M(4x-2))/(2x^(2)-2x+3)+N/(2x^(2)-2x+3)`
तो `3x+1=4Mx-2M+N`
दोनों पक्षों में x के गुणांकों की तुलना करने पर
`4M=3 implies M=3/4`
तथा `-2M+N=1 implies N=1+3/2=5/2`
`:. (3x+1)/(2x^(2)-2x+3)=3/4 (4x-2)/(2x^(2)-2x+3)+5/2 1/(2x^(2)-2x+3)`
अतः `int (3x+1)/(2x^(2)-2x+3) dx=3/4 int (4x-2)/(2x^(2)-2x+3) dx+5/2 int (1)/(2x^(2)-2x+3) dx`
`=3/4 I_(1)+5/2 I_(2)` (मान लीजिए)
अब `I_(1)=int (4x-2)/(2x^(2)-2x+3) dx`
`=int 1/t dt,` मान लीजिए `2x^(2)-2x+3=t`
`=log |t|=log |2x^(2)-2x+3|" ":. (4x-2) dx=dt`
`I_(2)=int (dx)/(2x^(2)-2x+3)`
`=1/2 int (dx)/(x^(2)-x+3/2)`
`=1/2 int (dx)/((x-1/2)^(2)+(sqrt(5)/2)^(2))`
मान लीजिए `x-1/2 =u`
`dx=du`
`=1/2 int (1)/(u^(2)+(sqrt(5)/2)^(2)) du=1/2 2/sqrt(5) "tan"^(-1) (2u)/sqrt(5)`
`=1/sqrt(5) "tan"^(-1) (2(x-1//2))/sqrt(5)=1/sqrt(5) "tan"^(-1) (2x-1)/sqrt(5)`
अतः `int (3x+1)/(2x^(2)+2x+3) dx = 3/4 I_(1)+5/2 I_(2)`
`=3/4 log |2x^(2)-2x+3|+5/2 1/sqrt(5) tan^(-1) ((2x-1)/sqrt(5))+c`
`=3/4 log |2x^(2)-2x+3|+sqrt(5)/2 tan^(-1) ((2x-1)/sqrt(5))+c`.