`int (1)/(5+4 cos x) dx` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

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Explanation

प्रथम विधि : यहाँ दिया हुआ समाकल
`=int (dx)/(5("cos"^(2) x/2+"sin"^(2) x/2)+4("cos"^(2) x/2- "sin"^(2) x/2))`
`=int (dx)/(9 "cos"^(2) x/2 +"sin"^(2) x/2)`
`=2 int (1/2 "sec"^(2) 1/2 x dx)/(9+"tan"^(2) x/2),` अंश और हर को `"cos"^(2) x/2` से भाग देने पर
अब मानलो `"tan"x/2=t, :. 1/2 "sec"^(2) x/2 dx=dt`
`:.` दिया हुआ समाकल `=2 int (dt)/(9+t^(2))=2 1/3 "tan"^(-1) t/3+c`
`=2/3 tan^(-1) (("tan"x/2)/3)+c`.
टिप्पणी : `int (1)/(a+b cos x) dx` तथा `int (1)/(a+b sin x) dx` के रूप के प्रश्नों के ज्ञात करने में निम्न प्रतिस्थापन भी किया जाता है:
`cos x=(1-"tan"^(2) x/2)/(1+"tan"^(2) x/2)` तथा `sin x=(2"tan" x/2)/(1+"tan"^(2)x/2)`
द्वितीय विधि: `int (dx)/(5+4 cos x)=int (dx)/(5+4((1-"tan"^(2) x/2)/(1+"tan"^(2) x/2)))`
`=int ((1+"tan"^(2) x/2))/(5(1+"tan"^(2) x/2)+4(1-"tan"^(2)x/2))dx=int ("sec"^(2) 1/2 x dx)/(9+"tan"^(2) 1/2 x)`
`=2 int (1/2 "sec"^(2) x/2 dx)/(9+"tan"^(2) x/2)= int (2dt)/(9+t^(2))=2 int (dt)/((3)^(2)+t^(2))`
यहाँ `"tan"1/2 x=timplies 1/2 "sec"^(2) x/2 dx=dt`
`=2 1/3 tan^(-1) (t/3)=2/3 tan^(-1) (("tan" x/2)/3)+c`.