`int x^(2)/((x^(2)+1)(3x^(2)+1)) dx` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

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Explanation

[नियम: यदि भिन्न के अंश तथा हर दोनों में ही केवल x की सम घातें (even powers) हो तो आंशिक भिन्नो में भंग करने के लिए `x^(2)=t` मानक क्रिया करने से अधिक सरलता रहती है।]
मानलो `x^(2)=t`, तो
`x^(2)/((x^(2)+1)(3x^(2)+1))=(t)/((t+1)(3t+1))`
`=(-1)/((t+1)(-2))+(-1/3)/((2/3)(3t+1))=(1)/(2(t+1))- (1)/(2(3t+1))`
`=(1)/(2(x^(2)+1))-(1)/(2(3x^(2)+1))`
`:. int x^(2)/((x^(2)+1)(3x^(2)+1)) dx=1/2 int (1)/(x^(2)+1) dx-1/2 int 1/(3x^(2)+1) dx`
`=1/2 int (1)/(x^(2)+(1)^(2)) dx-1/2 1/3 int (1)/(x^(2)+(1/sqrt(3))^(2)) dx`
`=1/2 "tan"^(-1) x/1-1/6 1/(1/sqrt(3))"tan"^(-1) x/(1/sqrt(3))+c`
`=1/2 tan^(-1) x-1/(2sqrt(3)) tan^(-1) xsqrt(3)+c`.