फलन `sin^(5) x` का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।

Answer

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Explanation

इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए `sin^(n)x` समानयन सूत्र ज्ञात किया जाता है तथा उसका एक से अधिक बार आवश्यकतानुसार उपयोग कर समाकलन किया जाता है।
`int sin^(n)x dx = int sin^(n-1) x sin x dx`
`=sin^(n-1) x(-cos x)+int (n-1) sin^(n-2) x cos^(2) x dx`
`=-sin^(n-1) x cos x + (n-1) int sin^(n-2) x(1- sin^(2) x) dx`
`=-sin^(n-1) x cos x + (n-1) int sin^(n-2) x dx -(n-1) int sin^(n) x dx`
`:. n int sin^(n) x dx = - sin^(n-1) x cos x +(n-1) int sin^(n-2) x dx`
`int sin^(n) x dx = -1/n sin^(n-1) x cos x + (n-1)/n int sin^(n-2) x dx`
`int sin^(5) x dx =-1/5 sin^(4) x cos x + 4/5 int sin^(3) x dx`
`=-1/5 sin^(4) x cos x +4/5 [-1/3 sin^(2) x cos x+2/3 int sin x dx]`
`=-1/5 sin^(4) x cos x-4/15 sin^(2) x cos x + 8/15 int sin x dx`
`=-1/5 sin^(4) x cos x-4/15 sin^(2) x cos x-8/15 cos x +c`.