`int_(0)^(pi) (x sin x)/(1+ cos ^(2) x) dx` का मान ज्ञात कीजिए।

Explanation

मानलो `I=int_(0)^(pi) (x sin x)/(1+ cos^(2) x) dx` ...(1)
तथा `I=int_(0)^(pi) ((pi-x) sin (pi-x))/(1+cos^(2) (pi-x)) dx`, प्रगुण (4) से
`=int_(0)^(pi) ((pi-x) sin x)/(1+cos^(2) x) dx` ...(2)
I के उपर्युक्त दोनों मानों की जोड़ने पर
`2I=int_(0)^(pi) ((x+pi-x) sin x)/(1+ cos^(2)x) dx`
`=pi int_(0)^(pi) (sin x)/(1+ cos^(2) x) dx`, मानलो `cos x=t`
`implies sin x dx =-dt`
`=-pi int_(1)^(-1) (dt)/(1+t^(2))=pi int_(-1)^(1) (dt)/(1+t^(2))`, प्रगुण (1) से
`2I=2pi int_(0)^(1) (dt)/(1+t^(2))`, प्रगुण (5) से
`:' f(-t)=f(t)`
`2I=2pi(tan^(-1) t)_(0)^(1)=2 pi (pi/4)=pi^(2)/2`
`I=int_(0)^(pi) (x sin x)/(1+ cos^(2) x) dx=pi^(2)/4`.