सिद्ध कीजिए की `int_(0)^(pi//4) log sin 2 theta d theta = -pi/4 log_(e) 2`.

Explanation

माना `2theta=t` जब `theta=0` तब `t=0`
`implies 2 d theta=dt` जब `theta=pi/4` तब `t=pi/2`
`implies d theta=(dt)/2`
`:. I=int_(0)^(pi//4) log sin 2 theta d theta`
`=1/2 int_(0)^(pi//2) log sin t dt` ...(i)
`=1/2 int_(0)^(pi//2) log sin (pi/2-t) dt`, प्रगुण (4) से
`=1/2 int_(0)^(pi//2) log cos t dt` ...(ii)
(i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
`2I=1/2 int_(0)^(pi//2) [log sin t+ log cs t] dt`
`=1/2 int_(0)^(pi//2) log (sin t cos t) dt`
`=1/2 int_(0)^(pi//2) log ((2sin t cos t)/2) dt`
`=1/2 int_(0)^(pi//2) log ((sin 2t)/2) dt`
`=1/2 int_(0)^(pi//2) log sin 2t dt -pi/4 log 2` ...(iii)
अब दायी और के समाकल में माना `2t=m, :. dt=(dm)/2`
`2I=1/2 int_(0)^(pi) log sin m. (dm)/2-pi/4 log 2`
`=1/4 int_(0)^(pi) log sin m dm -pi/4 log 2`
`=1/4 int_(0)^(pi) log sin t st -pi/4 log 2`, प्रगुण (2) से
`=2. 1/4 int_(0)^(pi//2) log sin t dt -pi/4 log 2`
`=1/2 int_(0)^(pi//2) log sin t dt -pi/2 log 2`
`=I-pi/4 log 2`
`I=int_(0)^(pi//4) log sin 2 theta d theta=-pi/4 log 2`.