सिद्ध कीजिए की
`int_(0)^(pi//2) log cos x dx = int_(0)^(pi//2) log_(e) (sin x) dx = -pi/2 log 2` अथवा `pi/2 "log" 1/2`,

Explanation

मान लो `I=int_(0)^(pi//2) log (sin x) dx` ...(i)
तथा `I=int_(0)^(pi//2) log {sin(pi/2-x)} dx`, प्रगुण 4 से
`=int_(0)^(pi//2) log (cos x) dx` ...(ii)
I के उपर्युक्त दोनों मानों की जोड़ने पर
`2I=int_(0)^(pi//2) [log (sin x)+log (cos x)] dx`
`=int_(0)^(pi..2) log (sin x cos x) dx`
`=int_(0)^(pi//2) log ((2 sin x cos x)/2) dx`
`=int_(0)^(pi//2) log sin 2x dx- int_(0)^(pi//2) log 2 dx`
`=int_(0)^(pi//2) log sin 2x dx-pi/2 log 2` ...(iii)

`2I=int_(0)^(pi) log (sin y). 1/2 dy -pi/2 log 2`
`=1/2 int_(0)^(pi) log (sin x) dx-pi/2 log 2`, प्रगुण (2) से
`=2. 1/2 int_(0)^(pi//2) log (sin x) dx-pi/2 log 2`, प्रगुण (6) से
`=int_(0)^(pi//2) log (sin x) dx-pi/2 log 2`
`=I-1/2 pi log 2`, सम्बन्ध (1) से
`:. I=int_(0)^(pi//2) log (sin x) dx= int_(0)^(pi//2) log cos x dx`
`=-pi/2 log 2` अथवा `pi/2 "log" 1/2`,