`int_(0)^(oo) (dx)/((1+x^(2)))` का मान ज्ञात कीजिए।

Explanation

पहले हम `I=int_(0)^(b) (dx)/((1+x^(2))^(2))` का मान ज्ञात करेंगे।
मान लो `x=tan theta," ":. dx= sec^(2) theta d theta`
अब `theta` की सीमाएँ `0, tan^(-1) b` है।
`I=int_(0)^(tan^(-1)b) (sec^(2) theta d theta)/(sec^(4) theta)= int_(0)^(tan^(-1) b) cos^(2) theta d theta = int_(0)^(tan^(-1) b) (1+ cos 2 theta)/2 d theta`
`=[theta/2+(sin 2 theta)/4]_(0)^(-tan^(-1) b) = (tan^(-1) b)/(2) +(2b)/(4(1+b^(2)))`.
`:.` अभीष्ट समाकल `= lim_(b rarr oo)[(tan^(-1) b)/2+(1/(2b))/(1+1/b^(2))]=pi/4+0=pi/4`.