योग-परिभाषा द्वारा `int_(a)^(b) x^(2) dx` का मान ज्ञात कीजिए।

Explanation

`int_(a)^(b) x^(2) dx=lim_(h rarr 0) h[a^(2)+(a+h)^(2)+(a+2h)^(2)+...+{a+(n-1)h}^(2)]`, जहाँ `b-a=hn`
`=lim_(h rarr 0)h[na^(2)+2ah {1+2+3...+(n-1)}+h^(2){1^(2)+2^(2)+3^(2)+...+...(n-1)^(2)}]`
`=lim_(h rarr 0) h[na^(2)+2ah (n(n-1))/2+(h^(2)(n-1)n(2n-1))/2]`
`=lim_(h rarr 0) [(nh) a^(2)+a(nh) (nh-h)+1/6 (nh)(nh-h) (2nh-h)]`
`=lim_(h rarr 0) [(b-a)a^(2)+(b-a)(b-a-h)a+1/3 (b-a-h) (b-a-1/2 h)(b-a)]`, `nh=b-a`
`=(b-a)a^(2)+(b-a)^(2) a+1/3 (b-a)^(3)`
`=(b-a)/3 [3a^(2)+3a(b-a)+(b-a)^(2)]`
`=(b-a)/3 [3a^(2)+3ab-3a^(2)+b^(2)-2ab+a^(2)]`
`=(b-a)/3 (a^(2)+ab+b^(2))`
`=1/3 (b^(2)-a^(2))`