योगफल की सीमा के रूप में `int_(0)^(2) (x^(2)+1) dx` का मान कीजिए।

Explanation

`:' int_(a)^(b) f(x) dx=(b-a) lim_(n rarr oo) 1/n [f(a)+f(a+h)+...+f{a+(n-1)h}]`
जहाँ `h=(b-a)/n`
यहाँ `a=0, b=2, f(x)=x^(2)+1`
`:. H=(2-0)/n=2/n`
`int_(0)^(2) (x^(2)+1) dx=(2-0) lim_(n rarr oo) 1/n [f(0)+f(2/n)+f(4/n)+...+f{[(2(n-1))/(n)]}]`
`=2 lim_(n rarr oo) 1/n [1+(2^(2)/n^(2)+1)+(4^(2)/n^(2)+1)+...+{((2n-2)^(2))/n^(2) +1}]`
`=2 lim_(n rarr oo) 1/n [(1+1+...+1) +1/n^(2) {2^(2)+4^(2)+...+(2n-2)^(2)}]`
`=2 lim_(n rarr oo) 1/n [n+2^(2)/n^(2) {1^(2)+2^(2)+...+(n-1)^(2)}]`
`=2 lim_(n rarr oo) 1/n [n+4/n^(2)xx(n(n-1)(2n-1))/6]`
`=2 lim_(n rarr oo) 1/n [n+(2(n-1)(2n-1))/(3n)]`
`=2 lim_(n rarr oo) [1+2/3 (1-1/n) (2-1/n)]`
`=2(1+4/3)`
`=14/3`.