यदि a, b, c, d तथा p विभिन्न वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि `(a^(2)+b^(2)+c^(2))p^(2)-2(ab+bc+cd)p+(b^(2)+c^(2)+d^(2)) le 0` तो दर्शाइए कि a, b, c, तथा d गुणोत्तर श्रेणी में है।

Explanation

`because (a^(2)+b^(2)+c^(2))p^(2)-2(ab+bc+cd)p+(b^(2)+c^(2)+d^(2))le 0`
`therefore a^(2)p^(2)+b^(2)p^(2)+c^(2)p^(2)-2abp -2bcp-2cdp+b^(2)+c^(2)+d^(2) le 0`
`rArr (a^(2)p^(2)+b^(2)-2abp)+(b^(2)p^(2)+c^(2)-2bcp)+(c^(2)p^(2)+d^(2)-2cdp)le0`
`rArr (ap-b)^(2)+(bp-c)^(2)+(cp-d)^(2)=0 " "` (समीकरण में व्यक्त करने पर)
अथवा `ap-b=0,bp-c=0, cp-d=0`
`ap=b,bp=c, cp=d`
`(a)/(b)=p,(b)/(c)=p,(c)/(d)=p`
`therefore (a)/(b)=(b)/(c)=(c)/(d)=p`
अतः a, b, c और d गुणोत्तर श्रेणी में है।