यदि श्रेणी `(1(3)/(5))^(2)+(2(2)/(5))^(2)+(3(1)/(5))^(2)+4^(2)+(4(4)/(5))^(2)+.......,` के प्रथम दस पदों का योगफल `(16 )/(5 )m ` है, तब m का मान है :

Options

A. 102
B. 101
C. 100
D. 99

Explanation

माना प्रथम दस पदों तक का योगफल `S _(10 )` है, तब
`S_(10)=(16)/(5)m`
` =(1(3)/(5))^(2)+(2(2)/(5))^(2)+(3(1)/(5))^(2)+4^(2)+(4(4)/(5))^(2)+.......` 10 पदों तक
`=((8)/(5))^(2)+((12)/(5))^(2)+((6)/(5))^(2)+4^(2)+((24)/(5))^(2)+.......`10 पदों तक
`=(1)/(5^(2))[(8)^(2)+(12)^(2)+(16)^(2)+(20)^(2)+(24)^(2)+.....10 "पदों तक"]`
`=(4^(2))/(5^(2))[2^(2)+3^(2)+4^(2)+5^(2)+6^(2)+....10" पदों तक"]`
`=(16)/(25)[(1^(2)+2^(2)+3^(2)+4^(2)+5^(2)+6^(2)+........+11^(2))-1^(2)]`
`=(16)/(25)[(11xx(11+1)(2xx11+1))/(6)-1]`
`=(16)/(25)[(11xx12xx23)/(6)-1]`
`=(16)/(25)[506-1]=(16)/(25)xx505`
अर्थात `(16)/(5)m=(16)/(25)xx505`
`therefore m=(16)/(25)xx505xx(5)/(6)`
`=101`
अतः विकल्प (d) सही है।