मान लीजिए `a_(1),a_(2),a_(3),........,a_(100)` एक समांतर श्रेणी है जबकि a = 3 और `S_(p)=sum_(i=1)^(p)a_(i)` है, जहाँ `1 le p le 100 ` है। मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक n जहाँ `1 le n le 100 `, के लिए m = 5n मान्य है । यदि `(S _(m ))/(S _(n ))` का मान n पर निर्भर नहीं करता है, तब `a _(2 )` का मान ज्ञात करो।

Explanation

m पदों का योगफल,
`S_(m)=(m)/(2)[2a+(m-1)d]`
जहाँ m = 5n , a = 3 दिया हो, तब
`S_(5n)=(5n)/(2)[2xx3+(5n-1)d]`
`=(5n)/(2)[6+5nd-d]`
`=(5n)/(2)[(6-d)+5nd] " "...(i)`
तथा n पदों का योगफल,
`S_(n)=(n)/(2)[2xx3+(n-1)d]`
`=(n)/(2)[(6-d)+nd] " " ...(ii)`
अब `(S_(m))/(S_(n))=(S_(5n))/(S_(n)),` तब समीकरण (i) तथा (ii) से,
`=((5n)/(2)[(6-d)+5nd])/((n)/(2)[(6-d)+nd])`
`=(5[(6-d)+5nd])/((6-d)+nd)`
d = 6 या 0.
अब यदि d = 0, तब `a _(2 )` = 3 अन्यथा `a _(2 ) ` = 9
`therefore a_(2)=3+6=9.`