दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, `5q_2` या `5q+3` के रूप का नहीं हो सकता ।

Explanation

माना x कोई धनात्मक पूर्णांक है।
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका द्वारा
`x=5x+r,0le r lt 5`
इसलिए
`x=5m,5m+1, 5m+2, 5m+3, 5m+4,`
जहाँ m पूर्ण संख्या है।
अब
`x^(2)=(5m)^(2)=25m^(2)=5(5m^(2))=5q." "जहाँ q=5m^(2)`
`x^(2)(5m+1)^(2)=25m^(2)+10m+1=5(5m^(2)+2m)+1`
`=5q+1," जहाँ "q=5m^(2)+2m`
`x^(2)=(5m+2)^(2)=25m^(2)+20m+4`
`=5(5m^(2)+4m)+4=5q+4,"जहाँ"q=5m^(2)+4m`
`x^(2)=(5m+3)^(2)=25m^(2)+30m+9=25m^(2)+30m+5+4`
`=5(5m^(2)+6m+1)+4=5q+4," जहाँ"q=5m^(2)+6m+1`
`x^(2)=(5m+4)^(2)=25m^(2)+40m+16=25m^(2)+40m+15+1`
`=5(5m^(2)+8m+3)+1=5q+1," जहाँ "q=5m^(2)+8m+3`
अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए `5q+2` या `5q+3` के रूप का नहीं हो सकता है।