दिखाइए कि `sqrt3` एक अपरिमेय संख्या है ।

Explanation

इसके विपरीत हम यह मान ले कि `sqrt3` एक परिमेय संख्या है।
हम ऐसे दो पूर्णांक a और `b(n ne 0)` प्राप्त कर सकते हैं कि `sqrt3=(a)/(b)` है।
यदि a और b में, 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हो, तब उस उभयनिष्ठ गुणनखण्ड से भाग देकर a और b को सह अभाज्य बना सकते है।
`"अतः "bsqrt3=a` है ।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर `3b^(2)=a^(2)` प्राप्त होता है।
अतः `a^(2),3` से विभाजित है, तब 3, a को भी विभाजित करेगा।
अतः हम `a=3c` लिख सकते है, जहाँ c एक पूर्णांक है।
a के इस मान को `3b^(2)=a^(2)` में प्रतिस्थापित करने पर
`3b^(2)=9c^(2)" या "b^(2)=3c^(2)`
इसका अर्थ है कि `b^(2),3 `से विभाजित हो जाता है। इसलिए b भी उसे विभाजित होगा ।
अतः a और b में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 3 है। परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास होता है कि a और b सह अभाज्य है।
इसलिए यह विरोधाभास हमारी कल्पना की कमी के कारण है कि `sqrt3` एक परिमेय संख्या है ।
अतः`sqrt3` एक अपरिमेय संख्या है।