माना कि A एक परिमित समुच्चय है। यदि `f : A rarr A` आच्छादक है, तो दिखाएँ कि f एकैकी है।

Explanation

माना कि `A = {a_(1), a_(2), a_(3), ....a_(n)}`
दिया है, `f : A rarr A` एकैकी है।
`:. f(a_(1)), f(a_(2)),....f(a_(n))` सहप्रान्त A के भिन्न अवयव है।
लेकिन A के केवल n भिन्न अवयव है।
अतः `f(a_(1)), f(a_(2)),...f(a_(n))` A के सभी अवयव है।
माना कि सहप्रान्त A का स्वेच्छ अवयव `alpha` है,
तो `alpha = f(a_(1)), f(a_(2)),....f((a_(n))` में से एक होगा।
माना कि `alpha = f(a_(1))`
इस प्रकार प्रान्त A में एक ऐसा अवयव `a_(k)` है ताकि `f(a_(k)) = alpha`.
अतः सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव प्रान्त के किसी-न-किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
इसलिए f आच्छादक है। Note :
(i) यदि एक परिमित समुच्चय है, तो फलन `f : A rarr A` एकैकी होगा । यदि और केवल यदि f आच्छादक है।
(ii) यदि A और B दो परिमित समुच्चय हों जिनमें अवयवों कि संख्या समान है, तो एक फलन `f : A rarr B` एकैकी होगा `hArr f` आच्छादक है।