दिखाएँ कि `f : N rarr N` जो
`f(x) = {{:("x+1, यदि x विषम है"),("x-1, यदि x सम है"):}`
से परिभाषित है, एक एकैकी आच्छादक है।

Explanation

साबित करना है कि f एकैकी है:
माना कि m, `n in` प्रान्त N
Case I. यदि m और n दोनों सम हैं, तो
`f(m) = f(n) rArr m-1 = n-1`
`rArr m=n`
Case II. यदि m और n दोनों विषम है, तो
`f(m) = f(n) rArr m+1 = n+1`
`rArr m = n`
Case III. यदि m विषम तथा n सम है, तो
`f(m) = f(n) rArr m+1 = n+1`
`:. f(m) !=f(n)` [`because m+1` सम है तथा n-1 विषम है]
Case IV. यदि m सम तथा n विषम है, तो
`f(m) = f(n) rArr m-1 = n+1`
लेकिन m-1 विषम है तथा n+1 सम है।
`:. m-1 != n+1`
`:. f(m) != f(n)`
इस प्रकार सभी स्थितियों मे
`f(m) = f(n) rArr m = n`
अतः f एकैकी है।
साबित करना है कि f आच्छादक है:
माना कि k सहप्रान्त N का एक स्वेच्छ अवयव है।
Case I. यदि k विषम है, तो (k+1) सम होगा ।
अब `f(k+1) = (k+1)-1` [ f की परिभाषा से ]
= k
इस प्रकार `k + 1 in` प्रान्त का N, k प्रतिबिम्ब है।
Case II. यदि k सम , तो (k-1) विषम होगा
`f(k-1) = (k-1) + 1` [f की परिभाषा से ]
इस प्रकार `k in` सहप्रान्त `N, k -1` का प्रतिबिम्ब है।
अतः सहप्रान्त N का प्रत्येक अवयव, प्रान्त के किसी-न-किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
अतः f आच्छादक है।
इस प्रकार f एकैकी आच्छादक है।