सिद्ध कीजिए कि `f(x) = (1)/(x)` द्वारा परिभाषित फलन ` f: RR_(**) rarr RR_(**)` एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ `R_(**)` सभी शून्येतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रान्त `R_(**)` को `NN` से बदल दिया जाए , जब कि सहप्रान्त पूर्ववत `R_(**)` ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा ?

Explanation

(i) साबित करना है कि f एकैकी है : माना कि `x_(1), x_(2) in`
अब `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr (1)/(x_(1)) = (1)/(x_(2)) rArr x_(1) = x_(2)`
अतः f एकैकी है।
(ii) साबित करना कि f आच्छादक है: माना कि y, का एक स्वच्छ अवयव है। तो `y != 0`
माना कि `y = f(x) rArr y = (1)/(x)`
`rArr x = (1)/(y) in R` [`because (1)/(y)` अशून्य वास्तविक संख्या है। ]
अतः सहप्रांत R का प्रतेक अवयव प्रान्त `R_(**)` के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है। इसलिए f आच्छादक है। Second Part : यदि प्रानत N तथा सहप्रांत `R_(**)` हो तो आच्छादक नहीं है क्योंकि सहप्रांत `R_(**)` का अवयव 2 प्रान्त के N किसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
वास्तव में, `f(x) = 2 hArr (1)/(x) = hArr x = (1)/(2) !in N`.