यदि `f, g : R rarr R` क्रमशः `f(x) = x^(2) + 3x + 1, g(x) = 2x - 3` से परिभाषित है तो (i) fog (ii) gof (iii) fof (iv) gog निकालें।

Explanation

चूँकि f का परिसर = g का प्रान्त तथा g का परिसर = f का प्रान्त
इसलिए, fog, gof, fof तथा gog का अस्तित्व है।
दिया है, `f(x) = x^(2) + 3x + 1` ...(1)
तथा `g(x) = 2x-3` ....(2)
(i) प्रत्येक `x in R`, के लिए
`(fog)(x) = f(g(x)) = f(2x-3)`
`= (2x-3)^(2) + 3(2x - 3) + 1 =4x^(2) - 6x + 1`
अतः `fog : R rarr R (fog)(x) = 4x^(2) - 6x + 1`, सभी `x in R` से परिभाषित है।
(ii) प्रत्येक `x in R`, के लिए
`(gof)(x) = g(f(x)) = g(x^(2) + 3x + 1)`
`= 2(x^(2) + 3x + 1) - 3 = 2x^(2) + 6x - 1`
अतः `gof : R rarr R, (gof)(x) = 2x^(2) + 6x -1`, सभी `x in R` द्वारा परिभाषित है।
(iii) प्रत्येक `x in R`, के लिए
`(fof)(x) = f(f(x)) = f(x^(2) + 3x +1)`
`= (x^(2) + 3x + 1)^(2) + 3(x^(2) + 3x + 1) + 1`
`= x^(4) + 9x^(2) + 1^(2) + 6x^(3) + 2x^(2) + 6x + 3(x^(2) + 3x + 1) + 1`
`= x^(4) + 6x^(3) + 14x^(2) + 15x + 5`
अतः `fof : R rarr R` इस प्रकार परिभाषित है
`(fof)(x) = x^(4) + 6x^(3) + 14x^(2) + 15x + 5`, सभी `x in R`
(iv) प्रत्येक `x in R`, के लिए
`(gog)(x) = g(g(x)) = g(2x-3) = 2(2x-3) - 3 = 4x - 9`
अतः `gof : R rarr R, (gog) (x) = 4x - 9` द्वारा परिभाषित है