माना कि सभी `n in ZZ` के लिए `f : ZZ rarr ZZ, f(n) = 3n` द्वारा परिभाषित है और `g : ZZ rarr ZZ` निम्न प्रकार से परिभाषित है।
`g(n) = {{:((n)/(3)`,"यदि n,3 का अपवर्त्य है"),( "0,यदि n, 3 का अपवर्त्य नहीं है)"`:}`
सभी `n in Z` के लिए दिखाएँ कि `gof = I_(Z)` तथा `fog != I_(Z)`.

Explanation

चूँकि `f : Z rarr Z` तथा `g : Z rarr Z`
इसलिए, `gof : Z rarr Z` तथा `fog : Z rarr Z`
`n in Z`, के लिए, (gof)(n) = g(f(n))
= g(3n)
`=(3n)/(3) = n`
[`because 3n, 3` का अपवर्त्य है, `:.` परिभाषा से, `g(3n) = (3n)/(3)` ]
`:.` (gof)(n) = n, सभी `n in Z`.
अतः `gof = I_(Z)`
`n in Z` के लिए, `fog(n) = f(gn))`
`= {{:(f((n)/(3))",यदि n,3 का अपवर्त्य है"),( "f(0),यदि n, 3 का अपवर्त्य नहीं है"):}`
` = {{:(3((n)/(3))",यदि n,3 का अपवर्त्य है"),( "3(0),यदि n, 3 का अपवर्त्य नहीं है"):}`
` = {{:(n",यदि n,3 का अपवर्त्य है"),( "0,यदि n, 3 का अपवर्त्य नहीं है"):}`
इस प्रकार (fog)(n) = n, जब n, 3 का अपवर्त्य है
`(fog)(n)!= n`, जब n, 3 का अपवर्त्य नहीं है
इसलिए fog, Z पर तत्समक फलन नहीं है।
अतः `fog != I_(Z)`