निम्नलिखित फलनों के प्रतिलोम फलन निकालें (यदि उनका अस्तित्व है)
(i) `f : RR rarr RR` जो `f(x) = (x^(2))/(x^(2) +1) AA x in RR` द्वारा परिभाषित है,
(ii) `f : RR^(+) rarr RR^(+)` जो `f(x) = x^(2) AA x in (RR)^(+)` द्वारा परिभाषित है, जहाँ `RR^(+)` सभी धन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

Explanation

(i) दिया है, `f : R rarr R` जो `f(x) = (x^(2))/(x^(2) +1)` द्वारा परिभाषित है
स्पष्टतः `f(-1) = f(1) = (1)/(2)`
अतः f एकैकी नहीं है अर्थात यह बहुएकी है।
इसलिए `f^(-1)` का अस्तित्व नहीं है।
(ii) माना कि `R^(+)` के दो स्वेच्छ अवयव x तथा y हैं।
माना कि f(x) = f(y)
`rArr x^(2) = y^(2)`
`rArr x = +- y`
`rArr x=y` (`because x = -y, R^(+)` में संभव नहीं है )
इस प्रकार f एकैक फलन है।
माना कि `y in` सहप्रान्त `R^(+)` तथा `y = f(x)` तो `y = x^(2)`
`:. x = sqrt(y)` तथा `sqrt(y) in` प्रान्त `R^(+)` [ यहाँ `y = x^(2) rArr x = +- sqrt()y` ]
लेकिन `x gt 0 :. x = sqrt()y` (y का धन वर्गमूल)
इस प्रकार y, प्रान्त (domain) के एक अवयव का f के अधीन प्रतिबिम्ब है।
`:.` f आच्छादक है।
चूँकि f एकैकी आच्छादक है अतः यह व्युत्क्रमणीय है।
`f^(-1)` निकालना : माना कि `y = f(x)`
`rArr y = x^(2)`
`rArr x = sqrt()y`
`:. f^(-1)(y) = sqrt()y, AA y in R^(+)` `[because x in R^(+)]`
अतः `f^(-1)(x) = sqrt(x), x in R^(+)`