दिखाएँ कि `f : [-1, 1] rarr RR, f(x) = (x)/(x+2), x != -2` द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है। फलन `f : [-1, 1] rarr` (f का परिसर ), का प्रतिलोम निकालें।

Explanation

दिया है `f : [-1, 1] rarr R` जो निम्न प्रकार परिभाषित है,
`f(x) = (x)/(x+2), x != -2` ...(i)
f एकैकी है : माना कि `x_(1), x_(2) in [-1, 1]` ताकि `f(x_(1)) = f(x_(2))`
अब `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr (x_(1))/(x_(1)+2) = (x_(2))/(x_(2) + 2)`
`rArr x_(1)x_(2) + 2x_(1) = x_(1)x_(2) + 2x_(2)`
`rArr x_(1) = x_(2)`
अतः f एकैकी है।
माना कि B, f का परिसर है।
चूँकि f एकैकी है, इसलिए फलन `f : [-1, 1] rarr B` के प्रतिलोम का अस्तित्व है।
`f^(-1)` निकालना :
माना कि `y = f(x) rArr y = (x)/(x+2)`
`rArr = yx + 2y = x`
`rArr (1-y) x = 2y`
`rArr x = (2y)/(1-y)`
`rArr f^(-1)(y) = (2y)/(1-y)`
`:. f^(-1)(x) = (x)/(1-x)`