फलन `f : R_(+) rarr [-5, oo)` जो `f(x) = 9x^(2) + 6x - 5` द्वारा प्रदत्त है, पर विचार करें जहाँ `R_(+)` सभी अऋणात्मक संख्याओं का समुच्चय है। दिखाएँ कि f व्युत्क्रमणीय है तथा `f^(-1)(y) = (sqrt(y+6)-1)/(3)`.

Explanation

दिया है, `f : R_(+) rarr [-5, oo)`, जहाँ `f(x) = 9x^(2) + 6x - 5` ...(1)
यह जाँच करना कि f एकैकी है या नहीं :
माना कि `x_(1), x_(2) in R_(+)` ताकि `f(x_(1)) = f(x_(2))`
अब `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr 9x_(1)^(2) + 6x_(1) - 5 = 9x_(2)^(2) + 6x_(2) - 5`
`rArr 9(x_(1)^(2) - x_(2)^(2)) +6(x_(1) - x_(2)) = 0`
`rArr 9(x_(1) - x_(2))(x_(1)+x_(2)) + 6 (x_(1)-x_(2)) = 0`
`rArr (x_(1) - x_(2))[9(x_(1) + x_(2))+6] = 0`
`rArr x_(1) - x_(2) = 0`
`[because x_(1).x_(2) in R_(+) :. 9(x_(1) + x_(2)) + 6 != 0]`
`rArr x_(1) - x_(2)`
अतः f एकैकी है।
यह जाँच करना कि f आच्छादक है या नहीं :
माना कि y, सहप्रान्त `[-5 oo)` का एक स्वेच्छ अवयव है।
माना कि f(x) = y
अब `y = f(x) rArr y = 9x^(2) + 6x - 5`
`rArr 9x^(2) + 6x - (5+y) = 0`
`rArr x = (-6 +-sqrt(35+36(5+y)))/(18)`
`rArr x = (-6+-6sqrt(6+y))/(18)`
`rArr x = (-1+- sqrt(6+y))/(3)`
`rArr x = (-1+- sqrt(6+y))/(3) = (sqrt(6+y)-1)/(3) [because y in [-5,oo] :. x ge 0]`
`rArr x in R_(+)`
अतः f आच्छादक है।
`f^(-1)` निकालना :
माना कि `y = f(x) rArr x = (sqrt(6+y)-1)/(3)`
`rArr f^(-1)(y) = (sqrt(6+y)-1)/(3)`