यदि `f(x) = (4x+3)/(6x-4), x != (2)/(3)`, दिखाएँ कि सभी `x != (2)/(3)` के लिए fof(x) = x, है| f का प्रतिलोम क्या है ?

Explanation

दिया है, `f(x) = (4x + 3)/(6x-4), x != (2)/(3)` ...(1)
चूँकि`x != (2)/(3) :gt f = R - {(2)/(3)}`
First part :
अब fof(x) = f[f(x)] = f(y), जहाँ `y = f(x) = (4x+3)/(6x-4)`
`= (4y + 3)/(6y-4)` [ (1) से ]
`= (4((4x+3)/(6x-4))+3)/(6((4x+3)/(6x-4))-4) = (16 x +12+18 x - 12)/(24x+18 - 24x + 16) = (34x)/(34) = x`
`f^(-1)` निकालना :
1. f एकैकी है : माना कि `x_(1), x_(2) in` domain f ताकि `f(x_(1)) = f(x_(2))`
अब `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr (4x_(1) + 3)/(6x_(1) - 4) = (4x_(2) + 3)/(6x_(2)- 4)`
`rArr (4x_(1)+3)(6x_(2) - 4) = (6x_(1) - 4) (4x_(2) + 3)`
`rArr 24x_(1)x_(2) + 18x_(2) - 16x_(1) - 12 = 24x_(1)x_(2) - 16x_(2) + 18x_(1) - 12`
`rArr 34x_(1) = 34x_(2)`
`rArr x_(1) = x_(2)`
2. f आच्छादक है:
माना कि `y = f(x) rArr y = (4x + 3)/(6x - 4)`
`rArr 6yx - 4y = 4x +3`
`rArr (6y - 4)x = 4y +3`
`rArr x = (4y +3)/(6y - 4) in R - {(2)/(3)}` ...(2)
अतः f आच्छादक है।
3. `f^(-1)` निकालना :
माना कि `y = f(x) rArr y =f(x) rArr x = (4y +3)/(6y - 4)` [ (2) से ]
`rArr f^(-1)(y) = (4y+3)/(6y-4)`
अतः `f^(-1)(x) = (4x+3)/(6x-4)`
`f^(-1)` निकालने के लिए दूसरा तरीका :
`y = f(x) rArr y = (4x+3)/(6y-4) rArr x = (4y + 3)/(6y - 4)`
`:.` x के वास्तविक होने के लिए, `6y - 4 != 0 :. y != (2)/(3)`
अतः f का परिसर `R - {(2)/(3)}`
इस प्रकार `f : R rarr - {(2)/(3)} rarr R - {(2)/(3)}`
पहले भाग में हम साबित कर चुके है कि fof(x) : x
अतः `f^(-1) = f :. f^(-1)(x) = f(x) = (4x+3)/(6x-4)`