`a**b=(ab)/(4)` सभी `a, b in R` द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया के क्रमविनिमेय तथा साहचर्य होने की जाँच करें।

Explanation

प्रश्न से , `a ** b =(ab )/(4 )` सभी `a , b in R ` के लिए।
क्रमविनिमेय : `a , b in R ` के लिए,
`a **b = (ab )/(4 )` तथा `b **a = (ba )/(4 )`
चूँकि गुणन R पर क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रिया है,
इसलिए ab = ba सभी `a , b in R ` के लिए
`rArr (ab )/(4 )=(ba )/(4 ) ` सभी `a , b in R ` के लिए
`rArr a **b = b ** a ` सभी ` a , b in R ` के लिए
अतः ` ' **' ` समुच्चय R पर क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रिया है।
साहचर्य : माना कि `a , b , c in R `
तो `(a **b)**c=((ab)/(4))**c=(((ab)/(4))c)/(4)=((ab)c)/(16) " " ` ...(1)
तथा `a **(b**c)=a**((bc)/(4))=(a((bc)/(4)))/(4)=(a(bc))/(16) " " ` ...(2)
चूँकि गुणन, R पर साहचर्य द्विआधारी संक्रिया है,
इसलिए `(ab ) c = a (bc )`
`rArr ((ab)c)/(16)=(a(bc))/(16)`
`rArr (a **b)**c=a**(b**c) " " `[ (1) और (2) से ]
अतः `**` , समुच्चय R पर एक साहचर्य द्विआधारी संक्रिया है।