माना कि `A = N xx N ` तथा A में `(a , b ) ** (c , d ) = (ac , bd )` सभी `a , b , c , d in N ` द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। सिद्ध करें कि `**` क्रमविनिमेय तथा साहचर्य है।

Explanation

माना कि `(a , b ), (c , d ) in N xx N ` तो, `a , b , c , d in N `
अब , `a , b , c in N rArr ac , bd in N `
`rArr (ac , bd ) in N xx N `
इस प्रकार `(a , b ), (c , d ) in N xx N `
`rArr (ac , bd ) in N xx N ` सभी `a , b , c , d in N ` के लिए
`rArr (a , b ) * (c , d ) in N xx N `
`rArr (a , b ) ** (c , d ) in A ` सभी `(a , b ) , (c , d ) in A ` के लिए
अतः `** `, समुच्चय A पर एक द्विआधारी संक्रिया है।
क्रमविनिमेय : मना कि `(a , b ) , (c , d ) , A ` के कोई दो अवयव है।
तो, `(a , b ) **(c , d ) =(ac , ab )`
और `(c , d ) ** (a , b ) = (ca , db )`
`=(ac , bd )`
[ `because ac = ca ` और `bd = db ` सभी `a , b , c , d in N ` के लिए ]
`therefore (a , b ) ** (c , d )=(c , d )** (a , b )`
अतः ` ** ` , समुच्चय A पर एक क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रिया है।
साहचर्य : माना कि `(a , b ), (c , d ), (e , f )in A `
तो, `(a , b ) ** {(c , d ) ** (e , f )}`
`=(a , b ) ** (cd , df ) `
`=(a (ce ), b (df ))`
`=((ac )e , (bd )f )`
[ `because ` गुणन N पर साहचर्य है `therefore (a (ce )=(ac )e )` तथा `b (df )=(bd ) f ] `
`=(ac , bd ) **(e , f )`
`={(a , b )**(c , d ) } ** (e , f ) `
अतः `** ` , समुच्चय A पर साहचर्य है ।