माना कि `A=NN cup {0}xxNN cup {0}` तथा माना कि `**`, `A` पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो इस प्रकार परिभाषित है, `(a, b)**(c,d)=(a+c,b+d)` सभी `(a,b),(c,d) in A` के लिए । साबित करें कि
`**`, समुच्चय `A` पर साहचर्य है।
`A` में तत्समक अवयव भी निकालें यदि इसका अस्तित्व है।

Explanation

साहचर्य : `(a,b),(c,d),(e,f)in A` के लिए,
`{(a,b)**(c,d)}**(e,f)=(a+c,b+d)**(e,f)`
`=((a+c)+e,(b+d)+f)`
`=(a+(c+e),b+(d+f)) " " `[`because` योग (+), N पर साहचर्य है]
`=(a,b)**(c+e,d+f)`
`=(a,b)**{(c,d)**(e,f)}`
अतः `**`, समुच्चय A पर साहचर्य है।
माना कि (x, y), A में तत्समक अवयव ( indentity element ) है।
तब, `(a,b)**(x,y)=(a,b)` सभी `(a,b) in A` के लिए
`rArr (a+x,b+y)=(a,b)` सभी `(a,b) in A` के लिए
`rArr a+x=a,b+y=b` सभी `a,b in N cup {0}`के लिए
`rArr x = 0, y = 0`
`therefore (x,y)=(0,0)`
स्पष्टतः `(0,0) in A`
साथ ही `(0,0) **(a,b)=(0+a,0+b)=(a,b)` सभी `(a, b) in A` के लिए
इस प्रकार (0, 0) समुच्चय A में तत्समक अवयव है।