x के उन मानों का पता लगाएं जिनके लिए फलन `x^(5) -5x ^(4) +5x^(3) -1` का मान उच्छिष्ट या निम्निष्ट या इनमें से कोई न हो|उच्छिष्ट या निम्निष्ट मानों को भी निकालें|

Explanation

माना की `y=x ^(5) -5x^(4) +5x^(3) -1" "...(i)`
`therefore " "(dy)/(dx) =5x^(4) -20x^(3) +15x ^(2) =5x^(2) (x^(2)-4x+3)`
` " "=5x^(2) (x-1) (x-3)" "...(2)`
अब `5x^(2) (x-1) (x-3) =0 rArr x=0 ,0,1,3` यहाँ ` 0` दो बार आता है|
`(dy)/(dx)` अर्थात `5x^(2) (x-1) (x-3)` का चिन्ह योजना
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_004_S01.png" width="80%">
y का मान x =1 पर महत्तम तथा x =3 पर न्यूनतम है|
` x=0` पर y का न तो महत्तम मान है और न न्यूनतम मान है|
(1) से ,y का महत्तम मान `= 1 -5+5 -1=0`
y का न्यूनतम मान `= 243 -5 xx81 +5 xx27 -1=-28`
दूसरी विधि
माना की `y =x^(5) -5x^(4) +5x^(3) -1 " "...(1)`
` therefore " "(dy)/(dx) =5x^(4) -20 x ^(3) +15x^(2)" "....(2)`
y के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए ` (dy)/(dx) =0`
` therefore x^(4) -4x^(3) +3x^(2) =0" "rArr x^(2) (x^(2) -4x +3) =0`
` rArr " "x^(2) (x-1) (x-3)=0 " "therefore x=0 ,1,3`
से ` (d^(2)y)/(dx^(2))=20x ^(3) -60x ^(2)+ 30x " "...(3)`
(3 ) से, x =1 पर, ` (d^(2)y)/(dx^(2)) =20 -60+ 30=50 -60 =-10 lt 0 `
अतः y का मान x =1 पर महत्तम है|
` (1)` से, y का यह महत्तम मान `y =1^(5) -5xx 1^(4) +5xx1^(3) -1=0`
` (3)` से ` x=3 ` पर ` (d^(2)y)/(dx^(2) )=20xx3^(3) -60xx3^(3)-60xx3^(2) +30xxxx=90gt0`
अतः y का मान x =3 पर न्यूनतम है
`(1)` से y का यह न्यूनतम मान ` =3^(3) -5 xx 3^(4) +5xx3^(3) -1 =-28`
`x=0` पर `(d^(2)y)/(dx^(2))=20xx0-60 xx0 +30xx0=0`
` (3) ` से ` (d^(3)y)/(dx^(3)) =60x ^(2) -120x +30`
` x=0` पर ` (d^(3)y)/(dx^(3) )= 30 ne 0`
अतः x =0 पर y का न तो महत्तम मान है और न न्यूनतम मान है|