दिखाएं की `((1)/(x) )^(x)` का महत्तम मान `e^(1//e)` है|

Explanation

माना की `y= ((1)/(x) )^(x)" "...(1)`
स्पष्टतः `((1)/(x))^(x)` के परिभाषित होने के लिए `xgt 0`
`(1)` से, ` log y =x log ((1)/(x))=-xlog x `
दोनों तरफ x के सापेक्ष (differentiate ) करने पर हमें मिलता है|
` (1)/(y) (dy)/(dx)=- log x -x *( 1)/(x) =- ( 1+ logx )`
` (dy)/(dx) =-y (1+log x ) =- ((1)/(x))^(x) (1+log x) " "...(2)`
चूँकि `xgt 0" "therefore ((1)/(x))^(x) gt0`
`therefore " "(dy)/(dx) ` का चिन्ह वही होगा जो `-(1+ log_ex )` का
` " "1+ log _e x =0 rArr log _ex =-1 rArr x=e^(-1) =(1)/(3)`
`(dy)/(dx)` अर्थात ` -( 1+log _ex )` का चिन्ह योजना:
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_007_S01.png" width="80%">
y का मान ` x = (1)/(e) ` महत्तम है|
(1)से, y का महत्तम मान ` e^(1//e)`
दूसरी विधि ltBrgt `" "(dy)/(dx) =-((1)/(x))^(x) (1+log x ) " "...(2)`
` therefore " "(d^(2)y)/(dx^(2) )=- [( (1)/(x))^(x)*(1)/(x) (1+ log x )*{-((1)/(x))^(x) (1+log x ) } ]" "...(3)`
` x =(1)/(e) ` पर ` (d^(2) y)/(dx^(2) )=- e^(1//e) *( 1)/(e) lt 0 " "[ because x=(1)/(e) "पर " ,1 +log x=0]`
अतः y का मान `x= (1)/(e) ` पर महत्तम है| ltBrgt y का संगत महत्तम मान `= e^(1//e)`