जाँच करें की क्या फलन `x^(1//x) (xgt0)` का महत्तम या न्यूनतम मान है और यदि हाँ तो उसे निकालें|

Explanation

माना की `y =x ^(1//x) (xgt0)" "...(i)`
` therefore " "log y =(1)/(x) log x =( log x )/(x )" "...(2)`
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित (differentite ) करने पर हमें मिलता है|
`" "(1)/(y) (dy)/(dx) =( x*( 1)/(x) -log x*1)/( x^(2)) = (1- log _e x) /( x^(2))" "...(3)`
` therefore" "(dy)/(dx) =y ((1-log x )/(x^(2))) =(x^(1//x))/(x^(2)) (1-log x ) " "...(4)`
यहाँ ` xgt0therefore " " x^(1//x) gt0` तथा ` x^(2) gt 0, `
इसलिए `(dy)/(dx) ` अर्थात ` (1- log _ex ) ` के लिए चिन्ह योजना होगा|

y का मान x =e पर महत्तम है|
y संगत महत्तम मान `= e ^(1//e)`
दूसरी विधि
`(3)` से, ` (1)/(y)(dy)/(dx) =((1-log x ))/(x^(2))" "...(A)`
y के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए `(dy)/(dx) =0`
` therefore " "1- log _e x =0 " "[ because y= x^(1//x) gt 0"as " x gt 0]`
` rArr log _e x =1 rArr x=e`
पुनः (A ) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित (differentiate ) करने पर हमें मिलते है,
` " "-( 1)/(y^(2)) ((dy)/(dx))^(2) + (1)/(y)* ( d^(2)y)/(dx^(2))`
` = (x^(2) (-(1)/(x) )- (1-log x ) 2x )/( x^(4)) =( -3+ 2log x )/( x^(2)) " "...(B) `
` x =e` पर ` (d^(2)y)/(dx^(2) ) =[ y( (-3+2log x )/( x^(2)) ) ]_ (x=e) `
` = ( e^(1//e )(-3+2log e ) )/(e^(3))=(e^(1//e)(-3+2) )/(e^(3)) =( -e^(1//e) )/(e^(3)) lt 0 " "[ because 2ltelt 3]`
` therefore " "` y का मान x =e पर महत्तम है|
y का संगत मान