दिखाएँ की एक दिए हुए नियत वृत के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है|

Explanation

माना की दिए गए वृत की त्रिज्या a तथा केंद्र O है| मान की ABCD वृत के अंतर्गत एक आयत है| माना की L तथा M क्रमशः AB और CD के मध्य है|
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_013_S01##) `
माना की ` angle AOL =theta `
अब ` AB= 2AL =2a sin theta `
तथा ` AD= 2OL =2a cos theta `
माना की आयत ABCD का क्षेत्रफल =y, to
`y = AB*AD =2a sin theta * 2a cos theta =2a^(2) sin 2theta ...(1)`
चूँकि `2a^(2)` अचर है इसलिए (1 ) से स्पष्ट है की y का मान महत्तम ( यहाँ निरपेक्ष महत्तम ) होगा |
जब ` sin 2theta =1` या ` 2 theta =(pi)/( 2)` या ` theta =( pi )/(4) `
जब ` theta =(pi)/(4) , AB =AD =sqrt(2a) `
दूसरी विधि
(1) से, ` (dy)/(d theta ) =2a^(2) *2cos 2theta =4a^(2) cos theta " "....(2)`
y के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए `(dy)/(d theta) =0`
`therefore " "4a^(2) cos 2theta =0 " " ` या ` cos 2theta =0 =cos ""(pi)/( 2)`
` therefore " " 2theta ""( pi)/(2) " "` या `theta = ( pi)/( 4)" "[because 0lt theta lt (pi)/(2)] `
(2) से, `(d^(2)y)/( dx^(2) )=-4a ^(2) (-2sin 2theta ) =-8a ^(2) sin 2theta " "...(3)`
` theta =(pi)/(4) ` पर, ` (d^(2)y)/(d theta )=-8a ^(2) sin ""(pi)/( 4) * 2a*( 1)/(sqrt(2) ) =sqrt(2a)`
तथा ` " "AD =2a cos theta =2a cos ""(pi)/(4) =2a *( 1)/(sqrt(2)) =sqrt(2a)`
` therefore " "AB =AD `
अतः y का मान महत्तम है जब ` theta = (pi)/(4) ` अर्थात जब ` AB= AD ` इसलिए आयत एक वर्ग है|