एक खिड़की की आकृति एक आयत तथा इस पर बने एक अर्द्धवृत्त की तरह है यदि इसका परिमाप 30 मीटर है तो खिड़की की माप ज्ञात कीजिये जिससे कि इसमें अधिकतम प्रकाश जा सके ।

Explanation

माना की ` ABCDE ` अचर परिमाप वाला खिड़की है|
माना की AE = 2x तथा AB =y
माना की AE और BD के मध्य बिंदु क्रमशः L तथा M है|
तो ` AL= LE =x `
`BM =MD =CM=x`

प्रश्न से खिड़की की परिमिति =30 m
` therefore " "2x + 2y +pix =30` ltBrgt`therefore " "y= ( 30- (2+pi ) x)/( 2)" "...(1)`
स्पष्टतः खिड़की से महत्तम प्रकाश आएगा यदि इसका क्षेत्रफल महत्तम है
माना की खिड़की का क्षेत्रफल z है|
तो ` " "z= 2xy +(pix^(2))/( 2) =2x (30-(2+pi )x)/( 2) +(pix^(2))/(2) `
` " "= 30 x - (2+pi) x^(2) +(pix^(2))/( 2)" "...(2)`
` therefore " "(dz)/( dx) = 30 -2 (2+pi ) x+ xpi =30 -(4+pi ) x" "...(3)`
z के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए
` " "(dz)/(dx) =0` या ` 30- (4+pi ) x=0 " "therefore" "x= (30)/( 4+pi )m `
पुनः ` (3)` से, ` (d^(2) z)/( dx^(2)) =- (4+pi )lt 0 `
अतः z का मान महत्तम है जब ` x= (30)/( 4+pi )`
अतः (१) से ` y= ( 30 -(2+pi ) *( 30)/( 4+pi ))/( 2) =(30)/(4+pi ) m`
अतः z के महत्तम मान के लिए अर्धवृत की त्रिज्या `= (30)/(4+pi ) m `
` AB= y =(30)/( 4+pi ) m` तथा ` AE = (60 )/( 4+pi ) m`