साबित करें की नियत पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले एक खुले बेलन की ऊंचाई उसके आधार की त्रिज्या बराबर होती है|

Explanation

माना की बेलन की त्रिज्या x तथा ऊंचाई z है|माना की बेलन के पृष्ट का क्षेत्रफल S तथा आयतन V है|
दिया है, S =अचर (constant )
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_015_S01.png" width="80%">
अब ` " " S= 2pi xz+pix^(2) " "...(1)`
तथा ` " "V =pix ^(2)z " "...(2)`
` " "(1)` से, ` 2pi xz =S - pix^(2) `
` " "z= (S- pix^(2))/( 2pix)" "...(3)`
(2) से, ` V= pi x^(2) ((S-pix^(2))/(2pix))=(Sx)/(2) -(pix^(3))/(2) " "...(4)`
` therefore " "(dV)/(dx) =(S)/(2) - (pi)/(2) 3x^(2) =(S)/(2)- (3pix^(2))/(2) " "...(5)`
V के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए `(dV)/(dx)=0`
`therefore (S)/(2) -(3pi)/( 2) x^(2)=0" "` या ` x^(2) =(S)/( 3pi ) " "therefore x= sqrt((S)/(3pi))`
पुनः `(5)` से ` (d^(2)V)/(dx^(2))=-( 3pi )/( 2) * 2x= 3pi x`
जब ` " "x= sqrt((S)/(3pi )) ,(d^(2)V)/( dx^(2))=-3pi sqrt((S)/(3pi))=-sqrt( 3pi S )lt 0`
अतः `V `महत्तम है जब ` x=sqrt((S)/( 3pi )) `
अब ` (3)` से, ` (x)/(z) =( 2pix^(2))/( S- pix^(2))" "...(6)`
जब ` " "x= sqrt((S)/( 3pi )) , x^(2) =(S)/( 3pi )`
` therefore (6) ` से , `(x)/(z) =( 2pi""(S)/( 3pi))/( S- pi (S)/( 3pi))=((2)/(3) S)/( (2)/(3)S) =1 therefore " "x=z `
अतः दिए हुए पुष्ट क्षेत्रफल वाले बेलन के महत्तम आयतन के लिए ऊंचाई =आधार की त्रिज्या