सिद्ध कीजिए की प्रदत पृष्ट एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊंचाई आधार के व्यास के बराबर होती है|

Explanation

माना की `h,r,S ` तथा V दिए हुए बंद बेलन का क्रमशः ऊंचाई, आधार की त्रिज्या कुल पृष्ट का क्षेत्रफल तथा आयतन है|
दिया है| ` " " 2pi r^(2)+ 2pirh =S ` (अचर ) `" ",..(1 ) `
अब ` " "V =pi r ^(2) h `
` " "= pir^(2) [( S-2pir^(2))/( 2pir)] " "[ (1)"से "]`
` therefore " "V =(1)/(2) [S r- 2pir^(3) ] " "...(2)`

` rArr " "(dV)/(dr) =(1)/(2) [S- 6pir^(2) ]" "...(3)`
तथा ` " "(d^(2)V)/(dr^(2)) =(1)/(2) [0- 2pir] =6pir^" "...(4)`
V के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए
` " "(dV)/(dr ) =0 rArr S= 6pir^(2) `
` " "rArr r= sqrt((S)/(6pi)) " "[ because rgt0]`
(4) से, r के इस मान के लिए ` (d^(2)V)/( dr^(2)) lt0`
अतः V महत्तम है जब ` r= sqrt((S)/(6pi )) `
`(1)` से, ` h= (S- 2pir^(2))/(2pir) =( 6pir^(2) - 2pir^(2))/( 2pir ) =2r` = आधार का व्यास