18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर समान वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है|कटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी| जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो| संदूक का महत्तम आयतन भी निकालें|

Explanation

माना की चार कोने से कटे गये प्रत्येक वर्ग की भुजा x कम है| प्रश्न से वर्गाकार पटल की भुजा =18 cm स्पष्टतः वर्गाकार पटल की बीमाएँ (dimensions ) `18-2x, 18-2x,x` होंगे|
` therefore " "V ` = खुले संदूक का आयतन
` " "=(18-2x)^(2) ,x `
` therefore " "V = 324x -72x ^(2) +4x^(3)" "...(1) `
`rArr " "(dV)/(dx) =324-144x +12x^(2) " "...(2)`
तथा `(d^(2)V)/(dx) =-144+24x`
V के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए
` (dV)/( dx)= 0rArr 324-144x +12x^(2) =0`
`" "rArr x^(2) -12x +27=0 `
` " "rArr x=3,9 `
स्पष्टतः ` " "xne 9" " therefore x=3`
x =3 के लिए (3 ) से, ` (d^(2)V)/( dx^(2)) =-144 +24xx3 =-72 lt0 `
` therefore ` अतः संदूक का आयतन महत्तम होगा जब काटे हुए छोटे वर्ग की भुजा 3 cm है|
आयतन का महत्तम मान ` =(18- 2xx3 )^(2) xx3 =432`
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