` c^(2) ` के क्षेत्रफल वाले धातु के चादरों से वर्गाकार आधार वाला ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है| दिखाई की संदूक का महत्तम आयतन `(c^(3))/(6sqrt(3))` हैं |

Explanation

माना की वर्गाकार आधार के भुजा की लम्बाई x है तथा संदूक की ऊंचाई y है माना की संदूक का आयतन V है|
प्रश्न से संदूक के पृष्ट का क्षेत्रफल =`c^(2)`
` therefore " "x^(2) +4xy =c^(2) " "...(1)`
अब V = संदूक का आयतन
` " "=x^(2) y= x^(2) x(c^(2) -x^(2))/( 4x ) " "[ (1) से ,y= (c^(2)-x^(2))/( 4x )]`
` =(1)/(4) (c^(2) x- x^(3)) " "...(2)`
` therefore (dV)/(dx) =(1)/(4) (c^(2) -3x^(2) ) ` तथा ` (d^(2)V)/(dx^(2) ) =- (3)/(2) x " "...(3)`
V के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए
` (dV)/(dx) =0 rArrc^(2) -3x^(2) =0 rArr x= +-(c)/(sqrt(3))`
चूँकि ` xgt0:" " therefore " "x= (c)/(sqrt(3))" "...(4)`
(4) से x के इस मान के लिए
` (d^(2)V)/(dx^(2)) =-(3)/(2) * ( c)/(sqrt(3)) clt 0" " [because cgt0]`
` therefore ` V महत्तम होगा जब `x= (c)/(sqrt(3) )`
(2) से, V का महत्तम मान `= (1)/(4) [ c^(2) *(c)/(sqrt(3) )- ((c)/(sqrt(3)) ) ^(3)] =(c^(3))/( 6sqrt(3)) `