दिखाएँ की दिए गए आयतन के वर्गाकार आधार के घनाभ के पृष्ट का क्षेत्रफल न्यूनतम होगा जब यह घन है|

Explanation

माना की वर्गाकार आधार की भुजा a है तथा घनाभ की ऊंचाई h है| माना की इसके पृष्ट क्षेत्रफल है S है तथा आयतन V है|
तो ` V= a^(2)h" "...(1)`
` S =2a ^(2) +4ah `
` =2a^(2) + 4a *(V)/(a^(2)) " "[(1 "से " )]`
`therefore S= 2a^(2) +(4V)/( a) " "...(2)`
a के सापेक्ष अवकलित (differentiate ) करने पर
` (dS)/(da) =4a -(4V)/(a^(2)) " "...(3)`
तथा ` (d^(2)S)/(da^(2)) =4 +(8V)/(a^(3)) " "...(4)`
S के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए
` " "(dS)/(da) =0 rArr 4a -(4V)/(a^(2)) =0 rArr V= a ^(3) rArr a= V^(1//3)` ltBrgt अब, जब ` a= V^(1//3) (d^(2)S)/(da^(2)) =4 +(8V)/(V) =12 gt0` ltBrgt ` therefore S ` न्यूनतम है|
अब (1 ) से , `h =(V)/(a^(2)) =(a^(3))/(a^(2)) =a `
`rArr` घनाभ के सभी भुजाएं बराबर है| ltBrgt ` rArr ` घनाभ एक घन है|