सिद्ध कीजिए की दी हुई तिर्यक ऊंचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्थ शीर्ष कोण ` tan ^(-1) sqrt(2)`

Explanation

माना की शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण `theta ` है तथा तिर्यक ऊंचाई k है|
तो ` " "AB = k, BD =k sin theta `
` " "AD =k ,cos theta `
माना की शंकु का आयतन y है तो, ltBrgt` " "y= (1)/(3) ,pi BD^(2) *AD =(pi)/(3) *k^(2) theta *kcos theta `
या ` " "y= (pi)/(3) k^(3) *sin ^(2) theta cos theta " "...(1)`
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_020_S01.png" width="80%">
` therefore " "(dy)/(dx) =(pi)/(3) k^(3) [2sin theta cos *cos theta + sin ^(2) theta (-sin theta ) ]`
`" "= (pik^(3)) /( 3) sin theta (2cos ^(2) theta -sin ^(2) theta )" "...(2)`
यहाँ ` 0lt theta lt (pi)/(2) therefore sin theta gt 0,` इसलिए `(dy)/(dx)` का चिन्ह योजना वही होगा जो ` 2cos ^(2) theta -sin^(2) theta `
` 2cos ^(2) theta -sin ^(2) theta =0 rArr tan theta =sqrt(2)" " [ because 0lt theta lt (pi)/(2) ]`

` " "rArr theta =tan ^(-1) sqrt(2)=alpha ` (माना )
` (dy)/(d theta ) ` अर्थात `(2cos ^(2) theta -sin ^(2)theta ) ` का चिन्ह योजना:
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_020_S02.png" width="80%">
अतः y का मान महत्तम होगा जब ` theta =alpha =tan ^(-1) sqrt(2)`