सिद्ध कीजिए की दिए हुए पृष्ट और महत्तम आयतन वाले लम्ब वृतिय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण ` sin ^(-1) ((1)/(3)) ` होता है|

Explanation

माना की ` BD = r, AD =h, AB =l`
` " " angle BAD =theta `
दिया है| ` " "pir^(2) +pirl =` अचर =k (माना )
` " "therefore " "l =(k-pir^(2))/( pi )" "...(1)`
माना की शंकु का आयतन y है तो
` " "y= (1)/(3) pir^(2) h= (1)/(3) pir^(2) sqrt(l^(2) -r^(2))`
माना की z ` z= (1)/(9)pi^(2)r^(4) (l^(2) -r^(2))`
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_021_S01##)
` =(1)/(9) pi^(2)r^(2) [ ( (k-pir^(2)) /( pir )) ^(2) -r^(2)] [(1)"से "]`
` =(pi^(2))/(9) (r^(4))/( pi^(2)r^(2)) [(k- pir^(2))-pi^(2) r^(4) ] =(1)/(9) r^(2) (k^(2) -2kpir^(2))`
` (1)/(9) (k^(2) r^(2) -2kpir^(4) ) " "...(2)`
` therefore(dz)/( dr) =(1)/(9) (k^(2) 2r -8pir^(3)) =(2)/(9) kr (k- 4pir^(2)) " "...(3)`
स्पष्ट्तः `(2)/( 9) krgt 0`
` (dz) /(dr)` अर्थात `(k-4pir ^(2)) ` का चिन्ह योजना:
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_021_S02.png" width="80%">
` therefore z ` का महत्तम है और इसलिए y महत्तम है जब `r= sqrt((k)/( 4pi ))`
`(1)`से ` " "l=( k-pi (k)/( 4pi ) )/( pi sqrt((k)/( 4pi ))) =(3k)/( 4) *( 2)/(sqrt(pik )) =(3)/(2) sqrt((k)/(pi)) `
अतः अब ` sin theta =(r)/(l) =(1)/(2) sqrt((k) /(pi)) *(2)/(3) sqrt((k)/(pi) )=(1)/(3) therefore theta =sin ^(-1) ""(1)/(3) `