सिद्ध कीजिए की r त्रिज्या के एक गोले के अंतर्गत उच्चतम के लम्ब वृतीय शंकु की ऊंचाई `(4r)/( 3) ` है|

Explanation

माना की `angle OAB =theta,` तो `angle BOD =2theta `
` Delta OBD ` से, ` OD =rcos 2theta `
tatha ` " "BD =rsin 2theta `
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_022_S01.png" width="80%">
` therefore " "AD = AO +OD =r + rcos 2theta `
` " "=r (1+ cos 2theta ) = 2r cos ^(2) theta `
माना शंकु का आयतन y है तो
` " "y=(1)/(3) pi BD^(2) *AD `
` " "=(1)/(3) pir^(2) sin ^(2) 2theta *rcos ^(2) theta `
` " "=(2pi)/( 3) r^(3) (2sin theta cos theta )^(2) cos ^(2) theta `
` " "=(8pi)/( 3 ) r^(3) sin ^(2) theta cos ^(4) theta " "...(1)`
` therefore(dy)/(d theta ) =(8pi)/( 3) r^(3) [sin ^(2) theta * 4 cos ^(3) theta (-sin theta )+ 2sin theta *costheta * cos ^(4) theta ]`
` " "=( 16( pi)/(3) r^(3) sin theta cos ^(3) theta ) /( +ve )(cos ^(2) theta -2sin ^(2) theta ) , 0lt theta lt (pi)/(2)" "...(2)`
` cos ^(2) theta -2sin ^(2) 0=0 rArr tan theta =(1)/(sqrt(2)) therefore theta =tan ^(-1) ""(1)/(sqrt(2)) =alpha ` (माना ) ltBrgt `(dy)/(dx)` अर्थात ` (cos ^(2) theta -2sin^(2) theta ) ` के लिए चिन्ह है|

अतः महत्तम है जब ` theta = alpha ` जहाँ ` tan alpha =(1)/(sqrt( 2))`
इस स्थिति में ऊंचाई ` AD= 2rcos ^(2) alpha(2r)/( sec^(2)alpha ) =(2r)/( 1+( 1)/(2) ) =(4)/(3) r `